Bagi Anda yang sedang duduk di bangku kelas 10, Anda mungkin sudah atau akan segera familier dengan materi trigonometri. Untuk mengingat kembali, trigonometri adalah sebuah cabang matematika yang membahas mengenai relasi antara sudut dan sisi pada segitiga. Kalau diartikan secara harfiah, trigonometri berasal dari bahasa Yunani, yaitu trigonon yang artinya tiga sudut, dan metron yang berarti mengukur.
Selain itu, trigonometri juga identik dengan istilah-istilah seperti sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), cosecan (cosec), secan (sec), dan cotangen (cot). Agar Anda semakin paham dengan materi trigonometri kelas 10, pada artikel ini, kami akan membahas mulai dari perbandingan trigonometri segitiga siku-siku, sudut sudut istimewa, perbandingan sudut dan sudut relasi, identitas trigonometri, hingga contoh soal dan pembahasannya. Yuk, langsung simak penjelasan selengkapnya berikut!
Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku
Cari tampat les matematika di Medan.
Menurut letak sudutnya, sisi-sisi pada segitiga siku-siku dibagi menjadi 3, sisi depan sudut (sisi b), sisi samping sudut (sisi a), dan sisi miring (sisi c atau hipotenusa) yang berada di depan sudut siku-siku segitiga.
Di sini Anda akan mengenal istilah-istilah matematika seperti sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), cosecan (csc), secan (sec) dan cotangen (cot), dengan sinus merupakan kebalikan dari cosecan, cosinus adalah kebalikan dari secan, dan tangent adalah kebalikan dari cotangent.
Definisi perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku adalah sebagai berikut:
Sinus θ = sin θ = (sisi depan)/(sisi miring) = b/c
Cosinus θ = cos θ = (sisi samping)/(sisi miring) = a/c
Tangen θ=tan θ= (sisi depan)/(sisi samping) = b/a
Berdasarkan definisi perbandingan trigonometri di atas, didapatkan hasil penjabarannya yaitu:
Secan θ = sec θ = 1/cosθ = (sisi miring)/(sisi samping) = c/a
Cosecan θ = csc θ = 1/sinθ = (sisi miring)/(sisi depan) = c/b
Cotangen θ = cot θ = 1/tanθ = (sisi samping)/(sisi depan) = a/b
Jika Anda juga ingin belajar tentang rumus barisan dan deret geometri, silahkan pelajari artikel ini!
Sudut Istimewa Trigonometri
Mengetahui sudut-sudut segitiga dengan pasti tidaklah mudah, namun ada beberapa segitiga yang istimewa. Disebut istimewa karena angka-angkanya sangat tepat. Itulah mengapa ada perbandingan trigonometri sudut istimewa.
Sudut-sudut istimewa dalam trigonometri adalah sudut 0˚, 30˚, 45˚, 60˚, 90˚, dan seterusnya, misalnya segitiga sama sisi dan persegi. Segitiga sama sisi memiliki jumlah sudut yang sudah diketahui yaitu 180 derajat, sementara pada persegi, masing-masing sudutnya adalah 90 derajat.
Jika dihitung, maka tabel perbandingan trigonometri sudut istimewa adalah sebagai berikut.
| 0˚ | 30˚ | 45˚ | 60˚ | 90˚ | |
|---|---|---|---|---|---|
| Sin θ | 0 | 1/2 | (1/2) √2 | (1/2) √3 | 1 |
| cos θ | 1 | (1/2) √3 | (1/2) √2 | 1/2 | 0 |
| tan θ | 0 | (1/3) √3 | 1 | √3 | - |
| cot θ | - | √3 | 1 | (1/3) √3 | 0 |
| sec θ | 1 | (2/3) √2 | √2 | 2 | ∞ |
| csc θ | ∞ | 2 | √2 | (2/3) √2 | 1 |
Anda bisa mereservasi guru privat untuk les olimpiade matematika sekarang!
Perbandingan Sudut dan Sudut Relasi Trigonometri
Perbandingan trigonometri sudut berelasi merupakan perluasan dari nilai trigonometri dasar tentang kesebangunan pada sudut segitiga siku-siku, karena sudut siku-siku hanya memenuhi sudut kuadran 1 dan sudut lancip (0˚-90˚) sementara sudut pusat lingkaran adalah 0˚-360˚ yang dibagi menjadi 4 kuadran.
Yang dimaksud kuadran adalah setiap dari empat bagian suatu bidang datar yang terbagi oleh suatu sumbu silang. Sumbu silang tersebut adalah sumbu x dan sumbu y. Jika nilai y positif, maka nilai sin akan positif. Jika sumbu x positif, nilai cos akan positif. Nilai tan akan positif jika x dan y sama-sama positif atau negatif. Terakhir, nilai k akan selalu positif.
Relasi sudut-sudut dalam trigonometri dapat dinyatakan dalam bentuk berikut:
- Pada kuadran I
sin θ = sin θ
cos θ = cos θ
tan θ = tan θ
- Pada kuadran II
sin (180 – θ) = sin θ
cos (180 – θ) = -cos θ
tan (180 – θ) = -tan θ
- Pada kuadran III
sin (180 + θ) = -sin θ
cos (180 + θ) = -cos θ
tan (180 + θ) = tan θ
- Pada kuadran IV
sin (360 – θ) = -sin θ
cos (360 – θ) = -cos θ
tan (360 – θ) = -tan θ
Identitas Trigonometri
Identitas trigonometri adalah kesamaan yang memuat perbandingan trigonometri dari suatu sudut. Identitas trigonometri menyatakan hubungan dari suatu fungsi trigonometri dengan fungsi trigonometri lainnya. Anda akan lebih mudah memahaminya jika sudah paham konsep dasar trigonometri dan pythagoras.
Ada tiga cara untuk menunjukkan kebenaran sebuah identitas trigonometri. Pertama, dengan menyederhanakan ruas kiri menggunakan identitas sebelumnya sampai menjadi bentuk yang sama dengan ruas kanan. Cara kedua, dengan mengubah dan menyederhanakan ruas kanan sampai menjadi bentuk yang sama dengan ruas kiri. Ketiga, mengubah baik ruas kiri maupun ruas kanan ke dalam bentuk yang sama.
Berikut adalah beberapa rumus identitas trigonometri yang perlu Anda ketahui.
- tan θ = sinθ/cosθ
- cot θ = cosθ/sinθ = 1/tanθ
- sec θ = 1/cosθ
- csc θ = 1/sinθ
- sin²x + cos²x = 1
- sin²x = 1 - cos²x
- cos²x = 1 - sin²x
- sec²θ = tan²θ + 1
- csc²θ = cot²θ + 1
Apakah rumus tersebut serupa dengan rumus determinan matriks?
Contoh Soal dan Pembahasan
Setelah memahami konsep dan rumus trigonometri, mari kita lihat penerapannya dalam soal matematika. Perhatikan contoh beserta pembahasannya berikut.
- Nilai dari sin 2/3 π + sin 7/3 π adalah..
Jawab:
sin 2/3 π + sin 7/3 π = sin 120˚ + sin 420˚
= sin (1/2) √3 + (1/2) √3 = √3
Jadi, nilai dari sin 2/3 π + sin 7/3 π adalah √3..
- Tentukanlah nilai dari sin 120˚ + cos 201˚ + cos 315˚!
Jawab:
sin 120˚ berada pada kuadran 2, sehingga nilainya tetap positif dengan besar sama seperti sin 120˚ = sin (180-60˚) = sin 60˚ = (1/2) √3
cos 201˚ berada pada kuadran 3, sehingga nilainya negatif dengan besar sama seperti cos 201˚ = cos (180+30˚) = -cos 30˚ = (-1/2) √3
cos 315˚ berada pada kuadran 4, sehingga nilainya positif dengan besar sama seperti cos 315˚ = cos (360-45˚) = cos 45˚ = (1/2) √2
sin 120˚ + cos 201˚ + cos 315˚ = (1/2) √3 - (1/2) √3 + (1/2) √2 = 1/2 √2
Jadi, nilai dari sin 120˚ + cos 201˚ + cos 315˚ adalah (1/2) √2.
Nah, itulah beberapa penjelasan tentang materi trigonometri kelas 10. Jika Anda ingin memperdalam materi ini, Anda bisa menghubungi guru-guru matematika berpengalaman di situs Superprof untuk les matematika privat secara online maupun tatap muka. Anda juga bisa memeriksa artikel-artikel kami lainnya tentang logika matematika di website Superprof. Selamat belajar!
Apa Anda menyukai artikel ini? Berikan penilaian Anda
Loading...
help aku punya pr binggung bgtt
halo, silakan pilih guru-guru kami yang sekiranya bisa ngebantu kamu :)