“Tetapi menurut saya, semua hal di alam terjadi secara matematis.” ― Rene Decartes
Interval adalah bagian menarik dari aljabar. Aritmatika interval dapat digunakan untuk menemukan semua angka real antara dua bilangan dalam satu himpunan.
Superprof hadir dengan sedikit kursus penyegar untuk Anda. Seperti yang akan Anda lihat, interval mengharuskan jenis pemikiran tertentu.
Apa Itu Interval Dalam Matematika
Interval adalah rentang angka antara dua angka tertentu, yang mencakup semua bilangan real di antara angka-angka tersebut. Dalam matematika, interval biasanya digunakan untuk menunjukkan set angka yang terletak antara dua batas, yang bisa termasuk atau tidak termasuk angka batas tersebut.
Cek di sini jika sedang mencari les matematika di bandung
Pelajari lebih lanjut tentang matematika.
Kita menggunakan simbol R untuk himpunan bilangan real. Kita menyebut titik akhir dari himpunan ini a dan b.
Mari kita lihat [4 ; 6]. Ini menunjukkan semua bilangan real 4 ≤ x ≤ 6. Ini mencakup angka 4, 5, dan 6, karena semuanya lebih besar dari atau sama dengan 4 dan lebih kecil dari atau sama dengan 6.
Ada beberapa jenis interval berbeda.
- Interval tertutup
- Interval terbuka
- Interval setengah terbuka
- Interval tak terbatas
Notasi Interval dalam Matematika
Notasi interval adalah cara untuk menuliskan rentang angka yang mencakup semua bilangan real di antara dua angka tertentu. Notasi ini digunakan untuk menyederhanakan representasi himpunan bilangan dan membantu dalam pemahaman serta penyelesaian masalah matematika yang melibatkan interval. Ada beberapa jenis notasi interval yang sering digunakan dalam matematika, yaitu interval terbuka, tertutup, dan setengah terbuka. Berikut adalah penjelasan mendetail tentang masing-masing notasi interval.
Jenis-jenis Notasi Interval
1. Interval Terbuka
- Notasi: (a, b)
- Deskripsi: Interval terbuka mencakup semua bilangan real antara a dan b, tetapi tidak termasuk a dan b.
- Contoh: (2, 5) mencakup semua bilangan yang lebih besar dari 2 dan lebih kecil dari 5, seperti 2.1, 3, 4.9, tetapi tidak termasuk 2 dan 5.
2. Interval Tertutup
- Notasi: [a, b]
- Deskripsi: Interval tertutup mencakup semua bilangan real antara a dan b, termasuk a dan b.
- Contoh: [2, 5] mencakup semua bilangan dari 2 hingga 5, termasuk 2 dan 5, seperti 2, 3, 4, 5.
3. Interval Setengah Terbuka (atau Setengah Tertutup)
- Notasi: (a, b] atau [a, b)
- Deskripsi: Interval matematika setengah terbuka mencakup semua bilangan real antara a dan b, tetapi hanya salah satu dari a atau b yang termasuk.
- (a, b]: Mencakup bilangan real antara a dan b, termasuk b tetapi tidak termasuk a.
- [a, b): Mencakup bilangan real antara a dan b, termasuk a tetapi tidak termasuk b.
- Contoh:
- (2, 5] mencakup semua bilangan lebih besar dari 2 dan kurang dari atau sama dengan 5, seperti 2.1, 3, 4.9, 5 tetapi tidak termasuk 2.
- [2, 5) mencakup semua bilangan dari 2 hingga kurang dari 5, seperti 2, 3, 4, 4.9 tetapi tidak termasuk 5.
4. Interval Tak Terbatas
- Notasi: (-∞, a), (a, ∞), (-∞, a], atau [a, ∞)
- Deskripsi: Interval ini melibatkan nilai tak hingga di salah satu atau kedua ujungnya.
- (-∞, a): Mencakup semua bilangan real yang lebih kecil dari a.
- (a, ∞): Mencakup semua bilangan real yang lebih besar dari a.
- (-∞, a]: Mencakup semua bilangan real yang lebih kecil atau sama dengan a.
- [a, ∞): Mencakup semua bilangan real yang lebih besar atau sama dengan a.
- Contoh:
- (-∞, 3) mencakup semua bilangan yang lebih kecil dari 3.
- (5, ∞) mencakup semua bilangan yang lebih besar dari 5.
- (-∞, 3] mencakup semua bilangan yang lebih kecil atau sama dengan 3.
- [5, ∞) mencakup semua bilangan yang lebih besar atau sama dengan 5.
Penggunaan Notasi Interval dalam Garis Bilangan
Notasi interval sering digunakan untuk menggambarkan himpunan bilangan pada garis bilangan. Garis bilangan adalah representasi visual dari bilangan real, di mana setiap titik pada garis tersebut mewakili bilangan real tertentu. Berikut adalah cara menggambarkan interval pada garis bilangan:
1. Interval Terbuka (a, b):
- Digambarkan dengan garis tanpa ujung yang terisi, yaitu lingkaran kosong di titik a dan b.
- Contoh: (2, 5) akan digambarkan sebagai garis dari 2 hingga 5 dengan lingkaran kosong di kedua ujungnya.
2. Interval Tertutup [a, b]:
- Digambarkan dengan garis dengan ujung yang terisi, yaitu lingkaran penuh di titik a dan b.
- Contoh: [2, 5] akan digambarkan sebagai garis dari 2 hingga 5 dengan lingkaran penuh di kedua ujungnya.
3. Interval Setengah Terbuka (a, b] atau [a, b):
- Digambarkan dengan satu ujung lingkaran kosong dan satu ujung lingkaran penuh.
- Contoh:
- (2, 5] akan digambarkan sebagai garis dari 2 hingga 5 dengan lingkaran kosong di 2 dan lingkaran penuh di 5.
- [2, 5) akan digambarkan sebagai garis dari 2 hingga 5 dengan lingkaran penuh di 2 dan lingkaran kosong di 5.
Pelajari cara menghitung median.
Cara Menulis Interval
Batasan interval ditunjukkan dengan tanda kurung. Untuk interval terbuka dan setengah terbuka, tanda kurung siku digunakan: [a ; b] untuk interval terbuka dan [a ; b dan a ; b] untuk interval setengah terbuka.
Ketika menulis interval, interval perlu ditulis dalam urutan yang naik. Interval tidak pernah ditulis dalam urutan yang menurun. Ketika tanda kurung ditutup, itu artinya setiap titik batas disertakan. Ketika tanda kurung terbuka, itu artinya titik akhirnya tidak disertakan.
Berikut adalah himpunan bilangan bulat {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9}. Himpunan ini mencakup semua bilangan bulat mulai 0 hingga 9 inklusif.
Untuk himpunan abstrak, Anda perlu menggunakan huruf. Ini sangat umum dalam aljabar.
Ada beberapa penggunaan umum:
- N menunjukkan bilangan bulat asli.
- Z menunjuk bilangan relatif.
- D menunjuk desimal.
- Q menunjukkan bilangan rasional.
- R menunjukkan bilangan real.
- I menunjukkan perpotongan antara dua himpunan.
- U menunjukkan gabungan dua himpunan.
Anda juga akan melihat tanda matematika untuk menunjukkan dua himpunan bilangan real dan bagaimana mereka berinteraksi.
Tanda ini mungkin tampak cukup rumit dan abstrak awalnya, tapi dengan latihan, Anda akan mengetahui bahwa tanda ini cukup sederhana dan mudah digunakan.
Tanda-tanda tersebut dapat berguna untuk memvisualisasikan data matematis. Ini dapat digunakan untuk melihat bagaimana berbagai interval berinteraksi.
Teruslah mencoba berbagai latihan sampai Anda menguasainya. Interval dapat mengehemat banyak waktu.
Berikut adalah tabel ringkas yang merangkumnya:
| Tanda | Arti |
|---|---|
| ∈ | milik |
| ∉ | bukan milik |
| ∞ | tidak terbatas |
| ∩ | irisan |
| ∪ | gabungan |
| ≠ | tidak sama dengan |
| ≤ | kurang dari sama dengan |
| ≥ | lebih dari sama dengan |
| < | kurang dari |
| > | lebih dari |
Lihat artikel kami tentang algoritma.
Rumus Interval
Rumus interval biasanya digunakan dalam konteks statistik dan analisis data. Salah satu aplikasi yang umum adalah dalam menghitung interval kepercayaan (confidence interval). Interval kepercayaan memberikan rentang nilai yang diperkirakan mengandung parameter populasi tertentu dengan tingkat kepercayaan tertentu.
Rumus umum untuk nilai interval adalah:
\[ CI = \bar{x} \pm (Z \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}) \]
Di mana:
- \( \bar{x} \) adalah mean sampel.
- \( Z \) adalah nilai dari distribusi normal standar yang sesuai dengan tingkat kepercayaan.
- \( \sigma \) adalah deviasi standar populasi.
- \( n \) adalah ukuran sampel.
Garis Interval dalam Matematika
Garis interval matematika adalah representasi grafis dari interval pada garis bilangan. Garis interval membantu memvisualisasikan rentang angka yang termasuk dalam interval. Berikut adalah beberapa contoh garis interval:
- Untuk interval tertutup [2, 5], gambar garis interval mencakup semua titik antara 2 dan 5, termasuk titik 2 dan 5.
- Untuk interval terbuka (2, 5), gambar garis interval mencakup semua titik antara 2 dan 5, tetapi tidak termasuk titik 2 dan 5.
- Untuk interval setengah terbuka [2, 5), gambar garis interval mencakup semua titik antara 2 dan 5, termasuk titik 2 tetapi tidak termasuk titik 5.
Periksa di sini untuk les online matematika
Interval Waktu dalam Matematika
Interval waktu adalah konsep lain dari interval yang sering digunakan dalam konteks fisika dan ilmu lainnya. Interval waktu merujuk pada jarak waktu antara dua kejadian. Misalnya, interval waktu antara jam 2 siang dan 4 sore adalah 2 jam.
Dalam fisika, interval waktu sangat penting dalam perhitungan kecepatan, percepatan, dan gerak benda. Misalnya, rumus kecepatan rata-rata adalah:
\[ v = \frac{d}{t} \]
Di mana \( d \) adalah jarak yang ditempuh dan \( t \) adalah interval waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak tersebut.
Cek di sini jika sedang mencari guru les matematika terdekat
Contoh Soal Interval dalam Matematika
Interval dalam matematika merupakan konsep yang sangat penting, terutama dalam konteks analisis dan penyelesaian masalah yang melibatkan rentang bilangan. Memahami contoh soal interval dapat membantu memperdalam pemahaman mengenai cara kerja interval dan aplikasinya. Berikut ini beberapa contoh soal interval dalam matematika yang diikuti oleh penyelesaiannya.
Cari tahu cara memperluas tanda kurung dalam aljabar.
Contoh Soal 1: Interval Terbuka
Soal:
Tentukan himpunan bilangan real yang memenuhi 3 < x < 7.
Penyelesaian:
Untuk menentukan interval yang sesuai, kita perhatikan bahwa bilangan real yang memenuhi persamaan tersebut adalah semua bilangan yang lebih besar dari 3 dan lebih kecil dari 7.
Interval ini dapat ditulis dalam notasi interval sebagai (3, 7).
Garis Bilangan:
- Gambar garis bilangan dengan dua titik pada angka 3 dan 7.
- Buat lingkaran kosong pada angka 3 dan 7 untuk menunjukkan bahwa angka 3 dan 7 tidak termasuk dalam interval.
- Tarik garis yang menghubungkan kedua lingkaran kosong tersebut untuk menunjukkan semua bilangan di antara 3 dan 7.
Contoh Soal 2: Interval Tertutup
Soal:
Tentukan himpunan bilangan real yang memenuhi 1 ≤ x ≤ 5.
Penyelesaian:
Bilangan real yang memenuhi persamaan ini adalah semua bilangan yang lebih besar atau sama dengan 1 dan lebih kecil atau sama dengan 5.
Interval ini dapat ditulis dalam notasi interval sebagai [1, 5].
Garis Bilangan:
- Gambar garis bilangan dengan dua titik pada angka 1 dan 5.
- Buat lingkaran penuh pada angka 1 dan 5 untuk menunjukkan bahwa kedua angka ini termasuk dalam interval.
- Tarik garis yang menghubungkan kedua lingkaran penuh tersebut untuk menunjukkan semua bilangan di antara 1 dan 5.
Contoh Soal 3: Interval Setengah Terbuka (Kiri Terbuka, Kanan Tertutup)
Soal:
Tentukan himpunan bilangan real yang memenuhi 2 < x ≤ 6.
Penyelesaian:
Bilangan real yang memenuhi persamaan ini adalah semua bilangan yang lebih besar dari 2 dan lebih kecil atau sama dengan 6.
Interval ini dapat ditulis dalam notasi interval sebagai (2, 6].
Garis Bilangan:
- Gambar garis bilangan dengan dua titik pada angka 2 dan 6.
- Buat lingkaran kosong pada angka 2 dan lingkaran penuh pada angka 6 untuk menunjukkan bahwa angka 2 tidak termasuk dalam interval, sedangkan angka 6 termasuk dalam interval.
- Tarik garis yang menghubungkan lingkaran kosong dan lingkaran penuh tersebut untuk menunjukkan semua bilangan di antara 2 dan 6.
Contoh Soal 4: Interval Setengah Terbuka (Kiri Tertutup, Kanan Terbuka)
Soal:
Tentukan himpunan bilangan real yang memenuhi -4 ≤ x < 3.
Penyelesaian:
Bilangan real yang memenuhi persamaan ini adalah semua bilangan yang lebih besar atau sama dengan -4 dan lebih kecil dari 3.
Interval ini dapat ditulis dalam notasi interval sebagai [-4, 3).
Garis Bilangan:
- Gambar garis bilangan dengan dua titik pada angka -4 dan 3.
- Buat lingkaran penuh pada angka -4 dan lingkaran kosong pada angka 3 untuk menunjukkan bahwa angka -4 termasuk dalam interval, sedangkan angka 3 tidak termasuk dalam interval.
- Tarik garis yang menghubungkan lingkaran penuh dan lingkaran kosong tersebut untuk menunjukkan semua bilangan di antara -4 dan 3.
Contoh Soal 5: Interval Tak Terbatas (Negatif)
Soal:
Tentukan himpunan bilangan real yang memenuhi x ≤ -2.
Penyelesaian:
Bilangan real yang memenuhi persamaan ini adalah semua bilangan yang lebih kecil atau sama dengan -2.
Interval ini dapat ditulis dalam notasi interval sebagai (-∞, -2].
Garis Bilangan:
- Gambar garis bilangan dengan titik pada angka -2.
- Buat lingkaran penuh pada angka -2 untuk menunjukkan bahwa angka -2 termasuk dalam interval.
- Tarik garis ke arah kiri tanpa batas (menuju negatif tak terhingga) untuk menunjukkan semua bilangan yang lebih kecil atau sama dengan -2.
Cari tahu cara membuat kerucut menggunakan geometri.
Interaksi antara Interval
Irisan antara interval [a ; b] dan [c ; d] adalah himpunan bilangan real x yang berada di [a ; b] dan [c ; d]. Ini dilambangkan dengan ∩.
Temukan berbagai guru Matematika SMP di Superprof.
Pelajari tentang ubin dan pengubinan.
Bayangkan a, b, c, dan d adalah empat bilangan bulat positif dengan irisan I:
I=[a ; b] ∩ [c ; d] ou I=[c ; d] ∩ [a ; b]
Misalnya:
2 ∈[0 ; 5] ∩[2 ; 6] car 2 ∈[0 ; 5] et 2 [2 ; 6]
Untuk menentukan irisan antara dua himpunan, ada baiknya mewakilinya sebagai himpunan keduanya sendiri. Anda akan tahu cara mengerjakan ini.
Gabungan Himpunan Interval
Ini adalah bilangan real di interval [a ; b] dan [c ; d].
Gabungan disimbolkan dengan ∪.
Ini dapat ditulis sebagai:
U=[a ; b] ∪ [c ; d] atau U=[c ; d] ∪ [a ; b]
Misalnya:
2 ∈[0 ; 5] ∪ [2 ; 6] karena 2 ∈[0 ; 5]
3,8 ∈[0 ; 5] ∪ [2 ; 6] karena 3,8 ∈[0 ; 6]
Untuk menentukan irisan dua himpunan interval, Anda bisa memplotnya pada garis bilangan.
Pelajari cara menghitung hasil bagi.
Pertidaksamaan (Inequation)
Anda perlu ingat bahwa solusi dari pertidaksamaan selalu merupakan interval atau himpunan kosong.
Ini menggunakan x yang tidak diketahui sebagai:
A (x) ≤ B(x) atau A(x)<B(x) di mana x adalah variabel yang tidak diketahui.
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, Anda perlu menemukan semua nilai untuk x yang memenuhi pertidaksamaan: himpunan bilangan real untuk x adalah solusinya.
Berikut adalah kemungkinan transformasi untuk pertidaksamaan ke ekuivalen.
- Menambah atau mengurangi bilangan yang sama ke atau dari kedua anggota.
- Mengalikan atau membagi kedua anggota dengan bilangan positif yang sama.
- Mengalikan atau membagi kedua anggota dengan bilangan negatif yang sama.
- Memperluas, memfaktorkan, atau mengurangi anggota.
Lihat artikel kami tentang konjektur matematika.
Pertaksamaan (Inequalities)
Ada tiga aturan pertaksamaan. Pertama, Anda selalu bisa menambahkan angka yang sama ke tiap anggota pertaksamaan: jika a≤b, maka a+c≤b+c.
Kedua adalah Anda bisa menjadi anggota bersama: jika a≤b dan c≤d, maka a+c≤b+d.
Aturan ketiga adalah Anda bisa mengalikan atau membagi setiap pertidaksamaan dengan angka yang sama.
Cek di sini untuk les matematika SMA terdekat
Nilai Mutlak
Nilai mutlak berada di tengah interval pada garis bilangan.
Ingatlah jarak antara a dan b.
Semoga ini cukup untuk membuat Anda memulai dengan interval. Seperti yang telah Anda pahami, dalam matematika, bilangan real beralih dari -∞ ke +∞. Sebagian besar waktu, kita semua tertarik pada himpunan bilangan ini. Himpunan interval sama bergunanya untuk menemukan bilangan yang ada di dalamnya seperti menemukan bilangan yang dikecualikan.
Jika Anda ingin mempelajari lebih lanjut tentang matematika, pertimbangkan mendapatkan bantuan dari salah satu guru berbakat dan berpengalaman di website Superprof.
Anda bisa menemukan guru yang ahli dalam matematika untuk semua level mulai dari sekolah menengah hingga universitas. Ada berbagai cara untuk belajar dari guru privat jadi pastikan Anda memilih jenis bimbingan yang cocok untuk Anda, bagaimana Anda ingin belajar, dan anggaran Anda.
Bimbingan tatap muka adalah yang paling umum dan biasanya melibatkan guru yang hanya mengajar satu murid di rumah mereka. Karena hanya ada satu murid, guru dapat menyesuaikan setiap menit pelajaran untuk mereka dan memastikan mereka mendapatkan hasil maksimal dari setiap menit yang mereka pelajari bersama. Tentu saja, layanan yang dipesan terlebih dahulu ini lebih mahal karena Anda membayar untuk bimbingan tersebut serta waktu yang dihabiskan guru untuk merencanakan kursus dan perjalanan ke rumah murid.
Bimbingan online juga dapat diajarkan satu lawan satu, tapi karena guru tidak perlu pergi ke tempat murid dan dapat mengajarkan lebih banyak pelajaran setiap pekan, mereka cenderung tidak terlalu mahal. Meskipun ini tidak ideal untuk subjek dan keterampilan langsung, bimbingan online bagus untuk subjek-subjek akademis seperti matematika.
Bimbingan kelompok adalah pilihan bagus untuk mereka yang memiliki anggaran terbatas. Dengan beberapa murid menghadiri kelas yang sama, guru mampu membebankan biaya yang lebih sedikit untuk setiap murid. Meskipun Anda tidak akan menikmati les yang disesuaikan hanya untuk Anda, Anda bisa menikmati membayar lebih sedikit untuk mereka. Jika Anda dan beberapa teman, anggota keluarga, teman sekelas, atau kolega perlu belajar lebih lanjut tentang matematika, bimbingan kelompok bisa menjadi opsi yang sangat bagus dan terjangkau.
Jangan lupa bahwa banyak dari guru di Superprof menawarkan jam bimbingan pertama secara gratis sehingga Anda bisa mencoba beberapa bimbingan sebelum memutuskan mana yang tepat untuk Anda. Anda juga bisa mencoba berbagai jenis bimbingan jika Anda tidak yakin mana yang lebih Anda sukai.
Menggaris bawahi persyaratan Anda sebelum mencari guru selalu menjadi ide yang bagus, Anda bisa melihat pengalaman apa yang mereka miliki, apa yang dikatakan siswa lainnya tentang mereka, dan berapa biaya yang mereka kenakan setiap jam. Sebelum Anda mulai menghubungi guru dan mengatur les gratis, kami sarankan Anda mempersempit pencarian guru yang memenuhi persyaratan Anda.
Tahukah Anda bahwa Anda bisa menemukan guru matematika yang piawai di sini?
Apa Anda menyukai artikel ini? Berikan penilaian Anda
Loading...
